مسائل عکس اشتورم-لیوویل با شرایط مرزی وابسته به پارامتر ویژه و روی گرافهای ستاره گونه

1- مسأله مقدار مرزی با پارامتر ویژه که به طور خطی در یکی از شرایطشرایط مرزی قرار دارد را در نظر می گیریم را در نظر می گیریم. با استفاده از روشهای کلاسیک نشان می دهیم که مقادیر ویژه این مسأله ساده و حقیقی است. با محاسبه فرمولهای مجانبی جوابهای اساسی توزیع مجانبی مقادیر ویژه و ثابتهای نرمال ساز را بدست می آوریم.قضاییای منحصر بفردی برای جواب مسائل عکس یافتن تابع پتانسیل و ضرایب شرایط مرزی از تاع وایل ، داده طیفی و دو طیف ثابت می شود. نشان داده می شود که این مسائل هم ارز هستند. برای بدست آوردن جواب مسدله عکس یافتن عملگر اشتورم-لیوویل از داده طیفی روش نگاشتهای طیفی را ارائه می دهیم. با معرفی یک فضای هیلبرت مناسب ، این مسأله مقدار مرزی را به صورت یک عملگر خطی در این فضا فرمولبندی می کنیم. با ساختن تابع گرین و عملگر حلال نشان می دهیم که این عملگر خود الحاق است. 2- سپس مسأله مقدار مرزی برای معادله اشتورم-لیوویل روی یک گراف ستاره گونه را با شرایط مرزی دیریکله و رابین در رئوس مرزی و شرایط جورسازی در رأس داخلی را مطاله می کنیم. با فرمولبندی این مسأله به صورت یک عملگر در یک فضای هیلبرت مناسب نشان می دهیم مقادیر ویژه حقیقی است. توزیع مجانبی مقادیر ویژه مسأله را بدست آورده و با استفاده از ویژگیهای توابع نوانلینا نشان می دهیم مقادیر ویژه مسأله اصلی و دنباله ای که از اجتماع طیفهای دو مسأله دیریکله-دیریکله و یک مسأله رابین دیریکله بر یالهای گراف تشکیل می شود به مفهومی متداخل هستند. ثابت می کنیم اگر این چهار طیف همدیگر را قطع نکنند ، آنگاه مسأله عکس برای یافتن تاع پتانسیل و شرایط مرزی و جورسازی به طور منحصر بفرد قابل حل است. الگوریتمی را برای یافتن جواب این مسأله عکس ارائه می دهیم.